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随机事件的独立性

独立是指事件本身不受其它任何事件干预的性质,换言之,不管另一事件出现与否,该事件发生的可能性都不受影响,则这两事件相互独立。先定义 : 被研究的随机事件 : 其它随机事件 如果 发生的概率跟 无关,数学上可以理解为 (1)   结合条件概率的定义     整理得 (2)   (2) 式是独立事件的另一种定义。 由 (2)…

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全概率公式及贝叶斯定理

条件概率的树状图 以新型禽流感为例,某实验室发明了专业的检测仪器。考虑如下问题 : 禽类身上出现新型病毒 : 禽类身上没有出现新型病毒 : 仪器有响应 : 仪器没有响应 分析仪对病毒样本的灵敏度是 0.985 (不响应率为 0.015). 看起来,仪器对新型病毒的检测很灵敏,但实际上也有 95% 的可能仪器在样本不含新型病毒时误报。科学家研究了大量随机样本,发现大约有 1/500 的机会禽鸟被新型病毒感染,因此,,即 ….

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条件概率与独立性

考虑一次掷出两颗六面骰子,至少有一个偶数点的机会有多大? 这简单,列出所有的可能的结果 共有 36 个可能,而其中有 27 满足要求,所以概率是     如果在黑盒中摇骰,在揭晓结果请別人先瞄一眼,他告诉你点数和为5,现在至少有一个偶数点的机率又是多少? 嗯 … 既然已知两骰子之和,那先挑出所有可能中两骰子加起来为5的情况 只有四种可能,而所有结果中每个骰子都是偶数,所以概率为     同样的实验,同样的问题,不同的前提条件得出的结果差很多! 是的,前提不同,已知信息量也不同,事件发生的概率也不同。如果前提信息很多,那对事件发生的情况瞭解就清楚。上面的例子中,已点数和是5,而奇数必定由一个奇数和一个偶数之和构成,所以可以百分百肯定有一个偶数点。 这就是条件概率麽?如果要计算不同的条件下的概率,每次都要列举给出合符条件的可能,再筛选出要求的结果? 对于简单的、有限及离散的情况,当然可以通过列举法求解。接下来將讨论条件概率的性质和例子,可以帮助大家理解一些更複杂的问题。首先,先来定義表示条件概率的符号…

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单人竞标游戏

有一个单人竞标游戏,游戏于开始后的 60 分钟内,系统将随机在0/10/20/30/40/50/60 分钟等 7 个时刻中的一个放出宝箱。竞标者也是随机在 0/10/20/30/40/50/60 分钟等 7 个时刻中的一个上线。一但宝箱出现,只会保留十分钟;一但竞标者上线,也只会逗留十分钟。只有当竞标者上线看到宝箱并在它消失前下标才能获得奖励。宝箱消失或者竞标者下线后游戏将结束。 请问竞标人能赢得奖励的机会是多少? 乍看之下,问题涉及到两个不同的时间及交错,但只要注意下面几点,题目并不複杂。 总共有 7×7 = 49 种时间组合,每一种组合都有相同的机会出现,因此,获奖的机会就是红点数与所有点数的比例     如果人和宝箱的上线时刻以…

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概率与集合

DISJOINT 事件 本节课回顾集合的性质以、运算以及相关的概率计算。如前所述,可以定义一个称为 的全集来表示样本空间,用样本空间的子集 表示随机事件,而它的补集 表示事件 以外的其它可能。 在上面的 Venn 图裡,蓝色的部分代表事件 ,灰色的部分是 以外的情况,即 。对任何事件,所有属于该事件和不属于该事件的结果的总和构成全集。     我们用大写 表示概率。因为 表示样本空间,代表所有的可能,自然有    …

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樣本空間的表示

样本空间除了可以用集合来表示以外,也可以通过表、图或树等穷尽列举随机实验的所有结果,再根据问题的性质圈出那些属于指定事件的结果,从而计算出事件中包含结果与全部结果的比例来估算机率。 举例而言,一颗公平的四面骰子,输出结果为 1,2,3,4. 连掷两次,请问两次结果之和少于等于6的机会为何?注意解题的四个步骤 仔细分析题目后,作出如下设计 该题目简单,只要将集合元素列出,数出     有,     我们也可以将将第一、二次掷得的结果描在二维图上 图中所有点组成样本空间,红点是属于事件 的点。图中共16个点,6个红点,因此     将样本描绘图上,直观地展现出事件和样本空间的关系。我们可以通过颜色和圈线来描出事件、甚至框出条件几率子空间(以后将讨论),使于计算複杂的条件几率问题。 除了图以外,有时也会用树表示样本空间,树的每一层代表指定随机实验的一个中间结果,而树的末端(叶子)是可能的最终结果,树的每一个分枝代表获得某个结果的过程。 每个节点是一个结果,分枝上标记了得到该结果的几率(权重),而最末端的节点(叶子)就是最终的结果,所有枼子构成样本空间。所有属于事件 的结果以红色节点表示,事件发生的几率就是红色叶子数与所有叶子数的比例…

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